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当然 ， 我们可以选择10或100粒豆子 ， 但是5粒就可以了 。我们如何计算三角中的豆子数量？
好吧 ， 总和显然是1 + 2 + 3 + 4 +5 。但是让我们以不同的方式来看待它 。假设我们镜像了三角形（镜像的豆我将使用" o"） ， 然后将其翻转：

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酷吧？变成了一个矩阵队伍 。看一下矩阵的底行 ， 它有5个x和1个 o 。上一行减少了1个x（总计4个）和增加了1个o（总计2个） 。就像配对一样 ， 一侧在增加 ， 而另一侧正在减少 。
现在进行解释：我们总共有多少个豆子？好吧 ， 这就是矩形的面积 。
我们有n行（我们没有更改矩形中的行数） ， 我们的集合的宽度为（n + 1）个单位 ， 因为1个" o"与所有" x"都配对了 。

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请注意 ， 这一次 ， 我们不在乎n是奇数还是偶数 ， 总面积公式相同 。如果n为奇数 ， 则每行中的项目数为偶数（n + 1） 。
但是 ， 当然 ， 我们不希望总面积（x和o的数量） ， 而只想要x的数量 。由于我们将x加倍以获得o ， 因此x本身仅占总面积的一半：

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我们又回到了原始公式 。同样 ， 三角形中x的数量= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ， 或1到n的总和 。
技术4：平均化
我们都知道

平均数 = 总数 / 个数

我们可以重写为

总数=平均数*个数

因此 ， 让我们计算总和 。如果我们有100个数字（1…100） ， 那么显然我们有100个项目 。
要获得平均值 ， 请注意所有数字均等分布 。对于每个大数字 ， 另一端都有一个小数字 。让我们看一小集：

1 2 3

平均值是2 。2已经在中间 ， 1和3"抵消" ， 所以它们的平均值是2 。
对于偶数个项目

1 2 3 4

平均介于2到3之间为2.5 。
请注意 ， 在两种情况下 ， 平均值的最左一侧是1 ， 而最右一侧为n 。因此 ， 我们可以说整个集合的平均值实际上只是1和n的平均值：（1 + n）/ 2 。
将其放入我们的公式中

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瞧！我们有第四种方式思考我们的公式 。
那为什么有用呢？
三个原因：
1）快速将数字相加可能对预测有用 。
请注意 ， 公式扩展为：

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计算1加到1000 。假设您每天增加1个粉丝访问您的网站 ， 1000天后您将有多少总访问者？由于1000的平方等于100万 ， 我们将得到1000000 / 2 + 1000/2 = 500500的访问量 。
2）在其他地方出现这种将数字1加到n的概念 ， 例如弄清楚的可能性 。牢牢掌握此公式将有助于您在许多方面进行理解 。
3）最重要的是 ， 此示例显示了许多了解公式的方法 。也许您喜欢配对方法 ， 也许您更喜欢矩形技术 ， 或者还有另一种适合您的解释 。当您不了解时 ， 请不要放弃 -尝试找到另一个可行的解释 。

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