行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式


行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式

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因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵,而行列式的值不变,对角矩阵的行列式就是对角元素相乘 。记矩阵为A,记λ为A的特征值,按照定义有:f(λ)=det(A-λE)=0,f(λ)为A的特征多项式,A的所有特征值为f(λ)=0的根,根据韦达定理,方程的根的乘积与系数的关系,特征值的乘积恰好为矩阵A的主子式的代数和,而这个和等于detA 。所以特征值乘积等于行列式的值 。
行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式

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行列式的性质:
1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA 。
2、行列式A等于其转置行列式AT 。
【行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式】3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样 。
4、行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A 。⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A 。
行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式

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拓展:
行列式定义的连加运算中,每一项可以这么理解:
行列式每一行都选出一个数字进行连乘,并且这些选出的数不能是同一列的 。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii) 。
行列式为什么等于特征值乘积 特征值相乘为什么等于行列式

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然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含n-1个(λ-aii) 。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项,那么假设没提供(λ-aii)的那行是第k行 。
第k行必须从别的列上取一个数,但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上 。这导致第k行只能去第k列取数,而k行k列显然是(λ-akk),存在矛盾 。
所以次数第二高的项也在(-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii)中 。