虚数单位i最常见的定义是
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这显然是错的;应该是
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复数有实部和复部 。例如,复数z=a+bi有a的实部和b的虚部,可以写成Re(z)=a, Im(z)=b 。如果复数的实部是0,那么这个数就是纯虚数 。像7这样的数是一种普通复数,它的虚部是0 。你可以在复平面上画出复数,复平面有实轴和虚轴 。这种a+bi形式也被称为复数的矩形形式 。
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在数字系统方面,N?Z?Q?R;;复数是实数的超集 。它们是独特的,具有现实世界的应用,就像复数所做的事情是实数有限做不到的 。复数的集合类似于实数R,有序实对的集合(你可以把每一个复数看作是它的实部和虚部的有序对) 。但是,复数的一个基本优势超过了实数 , 就是求复数的乘积很简单,结果是另一个复数;试图求两个有序实对的乘积是很复杂的 。
在现实世界中,复数的应用出现在二维的流体力学中,或者在工程中表示平面的旋转,因为复数提供了二维系统的美妙的表达方式 。
基本算术:复数的求和,模和共轭
计算复数的和很简单:你只需要将它们各自的实分量和虚分量相加 。例如:我(43 + 7i)+(12?34i)= (43 + 12)+ i(7?34)= 65?27i 。换句话说,z1 + z2 = (Re (z1) +(z2)] + i [Im (z1) + Im (z2)] 。你只要把i当做其他的常规的代数变量然后加上类似的项 。更直观的解释方法是用复数的向量 。当两个复数相加时 , 你是在求两个向量的和:你把一个向量的底平移到另一个向量的顶 。
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一个复数的绝对值/半径/模量,就是一个数在复数平面的原点的位置 。利用距离公式,我们得到了复数z=a+bi的模r为r=
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复数z=a+bi的共轭,用z -表示,等于a – bi 。换句话说 , 它是反映在实轴上的复数 。它的性质是如果你取一个复数和它的共轭的乘积,你总是得到模的平方 。事实上,这就是你如何得到平方和的公式:
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共轭复数有许多性质;这里列出一些:
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这里是一个众所周知的定理的例子 , 涉及多项式利用共轭的性质:
复数共轭定理:给定多项式P(x),,如果a+bi是多项式的根,那么a-bi它也一定是根 。
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复数的极坐标形式
到目前为止,我们一直在考虑复数的实分量和虚分量形式 。还有一种表示复数的方法在某些情况下更有用 。它使用了复数的模量和它的辐角(由右x轴转到指向复数的向量) 。在下面的图中,r是模数,
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因此复数可以写成:
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复数还有一种极坐标形式:
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利用它可推出著名的欧拉公式,请见复数的欧拉公式 。
下面是利用复数的极坐标形式可以很方便地做复数的乘、除、乘方、开方的运算 。
【数学复数知识点总结 高中虚数i的运算公式】
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