无限深势阱的薛定谔方程怎么解？1月9日12时 ， 《张朝阳的物理课》第十九期开播 。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间 ， 仔细分析了相速度与群速度的差别 ， 阐明群速度才是传递能量与信息的速度 。并利用分离变量法 ， 得到定态薛定谔方程 ， 又以无限深势阱问题为例 ， 具体解出分立的能级和能量本征态波函数 。最后引入并赋予傅立叶变换物理意义 ， 再次探讨不确定性原理 ， 一窥量子力学世界 。
与往期直播逐步推导公式不同 ， 一开场张朝阳直奔主题 ， 在“直播白板”上写下薛定谔方程 。“它相当于微观世界的牛顿定律 。”张朝阳说 ， “数学家要穷尽所有的可能性 ， 但搞物理的人 ， 会去猜几种特别的情况 ， 所以今天我们来猜猜它的解 。”他同时也提醒网友 ， “学习量子力学 ， 需要掌握微积分、线性代数 ， 傅立叶变换等基础知识 。”这些知识也在讲课中尽数用到 。
利用分离变量法求解 得到定态薛定谔方程
张朝阳先是带着网友复习上节课讲到的波的速度的概念 ， 探讨了相速度与群速度 。随后 ， 他开始通过分离变量法解薛定谔方程 。方程里的波函数既含有对时间t的偏导 ， 也有对位置x的偏导 ， 采取分离变量法 ， 将时间t与位置x分开 ， 也就是假设波函数具有如下的形式：


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代入薛定谔方程中 ， 便可将含有位置x的项与含有时间t的项 ， 分开到等号两边 ， 即：


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张朝阳介绍 ， 由于这个式子对任意的位置x与时间t都成立 ， 所以等号左边(或右边)是一个与位置x和时间t都无关的常数 ， 我们假设这个常数为E ， 则可将原来复杂的二元微分方程分解为两个一元微分方程：


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“这就大幅降低了解方程的难度 。若再将其化简一下 ， 即可得到定态薛定谔方程 。”张朝阳边写边说 。


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(张朝阳在“直播白板”上推导定态薛定谔方程)
探索无限深势阱 得到分立的能级
为具体展现求解薛定谔方程的完整过程 ， 张朝阳举了无限深势阱的例子 。他介绍说 ， 当位置x在0到a之间 ， 势能U(x)为零 ， 而其它地方势能无穷大 ， 所以波函数在位置0到a区域之外都为零 ， 而由于波函数又有连续的性质 ， 所以波函数在x=0与x=a时也为零 。于是 ， 当x在0到a之间时 ， 可写出其定态薛定谔方程：


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对应的边界条件为：


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这个微分方程是非常经典而容易解的 ， 张朝阳解出这个一元微分方程 ， 便得到能级E的表达式：

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