微积分是什么（什么是初等数学？）从小学到高中

从小学到高中，我们学过12年的数学，叫做初等数学；大学后的微积分，叫做高等数学。到底什么是初等数学和高等数学呢？它们之间有什么联系？面对数学难题，有什么思路可以让我们“一步到位”？中国科学院林群院士、张景中院士为你揭开数学的奥秘！

从小学到高中，我们学过12年的数学，叫做初等数学；大学后的微积分，叫做高等数学。
初等数学大致是什么内容呢？著名数学家华罗庚在1979年留下一个视频，他对此做过解答。
他说，数学就是数和形。最先出现的是数字，就是12345；后来有了减法，就出现了负数；再后来有了除法，就出现了分数。这许多“数”，有一个总名字：有理数。
有理数有一个特殊性质：有理数加有理数还是有理数，有理数减有理数还是有理数，有理数乘有理数还是有理数。也就是说，有理数遇到另一个有理数，不论加减乘，结果都是有理数。那么有理数除有理数呢？只有一种结果不是有理数，那就是除以0 。总之，有理数本身，对加减乘除是自封的。
仅有理数够不够呢？不够！例如根号2就不可能是有理数，这说明有理数是不完整的。所以整个“数”的系统，给它一个定义，叫实数系统。实数系统也有这个性质，即对加减乘除自封。
可是，实数系统就完整了吗？还不完整。例如在求解方程的过程中，可能没有实根，但是有虚根，所以实根之外又出现一种数，叫做复数。复数对加减乘除也是自封的。
自此之后，凡是一批数或一批抽象的东西，如果里面可以定义加减乘除并且是自封的，高等数学就叫它域。
最后讲面积，包括长方形、三角形、多角形、圆的面积。
上述是华罗庚关于初等数学的总结。华罗庚是我国最博学的数学家，他总观全局，把初等数学讲得这么少（精炼），使我们学习数学更有信心。
但是华罗庚没有具体讲高等数学（微积分）。
微积分讲什么呢？是否还是应该讲面积？如果我们还是把一般图形（如曲边梯形）分成许多长方形，不仅计算量大，而且分得再多也有疏漏，这是不得已的方案。
“牛顿”们不是这么做的。他们开始不是求面积，他们求瞬时速度，只看一个时刻。但在某一时刻，时间与路程都等于0：

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怎么算？我们给出一个算法：

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公式1
即平均速度与瞬时速度之差与时间成正比地减少。于是，在短时间内，速度就变化不大，平均速度就代替了瞬时速度。
尤其是，当时间接近0，则平均速度接近瞬时速度，用看不用想。
注意，我们关心的正是时间接近0时出现的极限，如今借助公式（1）求极限，避开了无穷小！
于是，公式（1）可改写为
|路程-瞬时速度×时间|≤(时间段)2的一个倍数
其中，瞬时速度×时间，可看作瞬时速度中的面积（相当于化曲为长方）。那么，路程为面积的近似值（时间的平方），那么很容易证明两者相同：路程=速度图的面积。
微积分把它写成：

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二维面积变成了一维高，俗称：油饼面积变油条高。
通俗地讲，就像计算一块弯弯曲曲的油饼面积，既无需将油饼切成“无穷个”小油条，也无需将这“无穷个”小油条的面积再相加，一下子就能得到油饼的面积等于另一根油条的高，简称为：油饼面积=油条高。