微积分基本定理（通俗演义微积分基本定理和公式的推导）微积分基本定理（通俗演义微

微积分基本定理（通俗演义微积分基本定理和公式的推导）怎样求曲线x2和直线x=0、x=10、x轴围成的面积？

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1 近似、暴力的方法：先分割、后求和就是把不规则的图形分割为n个小的规则(梯形或矩形）的图形，计算n个小的规则的图形的面积，累加起来去近似整体的面积。
如果是这样的一块田地，测量人员要去测量的话，他们会怎样做呢？一般会通过一个三角形去近似。会量一个底为10，高为70左右的一个三角形，面积大概是350左右。

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如果将区间[0,10]分成10个小区间，每个小区间的长度dx为1，在每个小区间[ti,tj]取点ξi（等于ti+0.5），每个dy=(ti+0.5)2，则将整个面积划分为10个长方形：

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小区间求和的Σ的形式就是：

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=0.52+1.52+2.52+3.52+4.52+5.52+6.52+7.52+8.52+9.52=332.5
2 极限或无穷的方法引用极限或无穷的概念，如果上述的dx→0（n→∞），ξi取每个小区间的右端点：

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有

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当n→∞，上述＝1000/3
3 定积分的方法也可以用定积分的形式表示：

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dx表示自变量在区间[0,10]的微分，x2dx表示整个面积的微分，符号∫是英文“sum"首字母“s”的拉长，表示面积微分的累加。
下面我们就一般情形来讨论定积分的近似计算问题。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下式定积分存在。

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我们将区间[a,b]分成n个长度相等的小区间

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每个小区间的长度均为dx=(b-a)/n，每个小区间任取ξi，则有

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（上限无穷分割或定积分的方法不一定能求出极限值。）
4 由定积分变上限积分的面积函数上面的定积分所计算出的都是一个特定的值（注意“定”这个字），不是一般的函数关系表达式。我们需要研究一般规律的函数关系表达式（不包含符号∫，这样就可以不是每次都用极限的方法而用代入的方法可以直接求出）。能不能找到一个关于x的面积函数，也就是曲线x2和直线x取任意值、x轴围成的面积函数，给出x的值，即可求出面积。
这样的面积函数的积分表达式可以表示为：

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面积函数F(x)如何用没有∫符号的表达式表示？可以考虑的思路是，F(x)肯定与曲线函数x2有相关关系。
我们可以考虑x2曲线以外的一般情形y=f(t)，面积函数为A(x)，如下图：

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【微积分基本定理（通俗演义微积分基本定理和公式的推导）】关键在于找出F(x)或A(x)的一般表达式，这个表达式是积分表达式的替代，从积分表达式可以看出，与面积微分f(t)dx或f(x)dx肯定有关系，是什么关系呢？
5 由变上限积分的面积函数到一般表达式的面积函数当积分的上限为x，在此基础上，做自变量x和面积函数的微分，自变量x增加一个极小值h（dt）：