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上图淡红色的阴影部分, 当 h 很小的时候几乎为小竖条, 所以可以用计算长方形面积的方法来估算该竖条的面积, 它的底从x 到x+h, 高从0 到f(x), 所以面积是 h*f(t) , 也就是:

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表达式h·f(x)就是面积函数F(x)的微分，函数的微分/自变量的微分称为微商，也称为导函数或导数，用F‘(x)表示 。导数的形式在一定情形比微分的形式更简洁，微分也可以由导数迂回求得，如上式可有如下推导：

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由此可见，曲线函数f(x)的反导数就是面积函数F(x)，这就是微积分的基本定理 。
上述黑色部分的面积可以表示为：F(x)-F(a)，这就是微积分的基本公式 。
函数的导数是一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即“变化率” 。可以用来求函数的最值、曲线在某一点的切线的斜率、变速运动的瞬时速度 。

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导数中引入了无穷小与极限的概念，但近似的表达式中却可以去掉无穷小与极限的符号，让表达式变得更简洁，如：

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类似的

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再回到下式：

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x2的反导数为1/3x3，所以上述所需求出的面积为：F(10)-F(0)＝1000/3 。
当然如果想求曲线x2和直线x=5、x=10、x轴围成的面积：F(10)-F(5)=1000/3－125/3=875/3=291.6 。

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6 从变速直线运动中路程函数与速度函数再看导数与积分的关系设物体沿一直线做变速运动，在时间t时，其路程函数为s(t)，速度函数为v(t)，则在时间段[T1,T2]内，由定积分定义可知，物体经过的路程为

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另一方面，S也可用路程函数s(t)的增量ΔS=S(T2)-S(T1)来表示，从而有关系式

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由于S‘(t)=v(t)，即路程函数是速度函数v(t)的反导数，定积分由无限求和变成了求差 。
如v(t)=t(8-t)

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由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得当t=4m时，物体的最大速度是16m/s 。速度v∈[0,16]，时间[0,8]，路程S粗略估计应该小于16*8=128m 。

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S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t2-1/3t3
上式符号∫表示不定积分，表达式∫(t(8-t)dt表示求函数t(8-t)的反导数或不定积分 。
S=4t2-1/3t3=4*82-1/3*83=85.33m

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