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特解是由该矩阵经过行列变换后变为标准式,那么这个标准矩阵和原来的矩阵所代表的方程组是同解的 。所以就由标准矩阵列出同解方程组,然后得出该方程组特解 。具体解法为:(1)将原增广矩阵行列变换为标准矩阵 。(2)根据标准行列式写出同解方程组 。(3)按列解出方程 。(4)得出特解 。
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线性方程组的通解由特解和一般解合成 。一般解是AX=0求出来的,特解是由AX=B求出来 。形式为X=η0+k*η 。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形 。若R(A);R(B),则方程组无解 。
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(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形 。
(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于,即可写出含n-r个参数的通解 。非齐次线性方程组
有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即rank(A)=rank(A,b)(否则为无解) 。
【齐次线性方程组的特解 线性方程组的特解】
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非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n 。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A);n 。(rank(A)表示A的秩)
解的结构:非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)
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