通向量子引力的路，又宽了一点点二维共形场理论一直是重要的

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二维共形场理论一直是重要的理论物理前沿研究工具之一，尤其是其中的刘维尔共形场理论，更是与量子引力存在着千丝万缕的直接联系。借助共形自举方法，刘维尔共形场已经可以非微扰的精确求解。然而，它的关键方程竟然是猜出来的，直至最近几年，数学家才给了出严格的证明。数学家与物理学家，对量子场论的深意又多了一点了解。
撰文 | 董唯元
量子引力理论是物理学界公认的圣杯，一直吸引着我们这颗星球上最顶级的一批智慧头脑为之不断探索。如今聪慧的科学家早已能够驾轻就熟地应用量子理论和广义相对论，乃至日常生活都能发现它们的身影，然而隐藏在这两个理论背后的宇宙奥秘，却仍然显得那么渺远难测。
2003年的时候，美国物理学家，圈量子引力的奠基者之一，李·斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）结尾处乐观地展望：“到2010年，至多到2015年，我们应该已经拥有量子引力理论的基本框架……在拥有这个理论的10年之内，能够检测它的新型实验将会被发明出来……到21世纪末，全球的高中生都将学习引力的量子理论。”如今回望，斯莫林的预言显然过于乐观了。
也许最能体现量子理论与引力理论之间鸿沟的，就是宇宙暗能量这个概念。依照广义相对论，加速膨胀的宇宙昭示着真空具有能量，也就是爱因斯坦方程中的“宇宙常数”不为零。同时依照量子场论，真空也具有非零的能量，这已经被卡西米尔效应（Casimir effect）实验所证实。如此看来，两个理论似乎都不约而同地给出了真空能量，然而实际上二者给出的数值相差了120个数量级！注意不是120倍，而是120个数量级，也就是10120倍。企图用真空零点能解释宇宙常数的努力，成了物理学中最离谱的猜测。
然而我们的宇宙不可能有两种真空，于是“宇宙暗能量”这个概念就被提了出来，以弥合两个理论对真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以称之为“暗” ，就是因为它既不在量子理论框架之内，也不能由引力理论解释。这个占据宇宙总能量70%的神秘缺口，或许只能等待未来的量子引力理论去缝合。
“降维打击”
在探索量子引力的道路上，充满了现有数学工具难以逾越的障碍，于是研究者们一边努力构建新工具，一边也在尝试简化问题的迂回方法，二维模型就是最为常用的迂回手段之一。
将高维降至二维最显而易见的好处，就是运算处理的大幅度简化。比如，在二维平面内，几次转动操作之间可以随意地交换顺序，最终的操作结果并不会因顺序的改变而受到影响。而在三维或更高维的空间中，多个转动操作之间不能随意交换顺序。可见二维空间比高维空间所受的限制更少，在处理复杂计算时可以腾挪的余地也就更大。
当然转动操作只是一个不入流的例子，研究者们真正青睐的是一种名为“共形变换（Conformal transformations）”的操作。这种操作也称“保角变换” ，顾名思义就是在扭曲变形的时候能够保持任意两条线的夹角不变。比如下图所示的这个变换，就是个典型的共形变换。在变换之后，每根蓝色线与每根红色线仍然保持垂直。

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如果你是第一次听到“共形变换”这个名词，也不要被这唬人的名字吓到。看看上图中那些弯曲的线条，是否让你联想到中学课本上的电场线和磁场线？再回想小时候用纸上的铁屑显示磁力线的那个小实验。其实，当你手握两块磁铁随意移动时，纸上那些铁屑图案的变化，正是一种共形变换。