通向量子引力的路，又宽了一点点( 二 ) 二维共形场理论一直是重要的

物理学家在研究场的时候，非常需要共形变换的辅助。每一个共形变换中的不变量，本质上都是一种对称性的体现，就像镜像反转或空间平移的对称性一样。而对称性正是物理学家最喜欢的内容，每增加一个对称性，物理学家就可以多写出一条约束系统的方程。未知数的个数没有增加，而方程的数量增加了，求解出答案的希望当然也就随之增加了。
各种共形变换和共形对称性是如此的重要，以至于CFT（共形场理论， Conformal field theory）已经成为一门应用广泛的基础科目。不仅在量子场论和引力理论中，而且在凝聚态物理和热力学等理论中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在20世纪末Ads/CFT对偶关系被发现之后， CFT的重要程度又进一步提升。
虽然共形场不仅限于二维，但对急于求解方程的研究者来说，二维共形场无疑是最友善的对象。因为只有在二维面上，才有无限多种共形变换，而在更高维度的空间中，只能存在有限种共形变换，所以二维共形场所蕴含的威力尤为强大。有些情况下，研究者甚至可以抛开其他因素，仅依靠这些对称性本身，就足以进行精确求解。
非微扰的求解方法
早在20世纪70年代，俄罗斯物理学家Alexander Polyakov就被二维共形场的强大威力所吸引，提出了一种全新的求解量子场的方法——共形自举（conformal bootstrap）。这种方法的基本思想，是把求解过程拆解为逐级爬楼梯。先选定一个三点结构作为基础，然后再增加第四个点，继而增加第五个点……这样求解的过程表面看似繁琐，实则却解决了一个困扰专业人士已久的难题。
传统求解量子场的基本思路，或直接或间接地继承自古老的分析力学和经典场论，即从拉格朗日量或者哈密顿量出发展开运算。其中用到的正则量子化和费曼路径积分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量为基础。这套方法非常皮实耐用，许多关键环节已经被古圣先贤们反复打磨铺垫就绪，对后来者的我们来说，几乎就剩下代入具体情况无脑傻算。
然而这个套路在量子场论中却有个缺陷，那就是场之间的相互作用不能太强，最好是完全没有相互作用的自由场。这就好比一套求解物体运动状态的方法，其实只能求解匀速直线运动。当处理匀速圆周运动时，就把那个垂直于运动方向的加速度当作一个高阶修正项补充进来。而如果遇到变速圆周运动，就得再补充更多的修正项。
这种补丁摞补丁的做法，专业术语上称为“微扰” 。意思就是说，把所有场间相互作用和其他约束条件，都看做对自由场的“微小扰动” ，由此所产生的效果，都只体现在那些修正项中。显然，当我们遇到非常强的相互作用时，微扰方法就会失灵，不能提供符合实际情况的结论。（相关参见《物理学的终极问题，正等待数学来回答》）
【通向量子引力的路，又宽了一点点】而前面提到的共形自举方法，则是一种非微扰的套路，可以求解许多强耦合的量子场。在20世纪80年代初， Polyakov和他的两位合作者Belavin和Zamolodchikov共同发表了一篇重要论文，论文中给出了求解一系列二维共形场的框架，向研究者们展示出这一方法的强大力量。自此，以三位作者命名的BPZ方程，就成了CFT发展历程中的一个里程碑。
从N-1个点迈向N个点的BPZ方程长成下面这个样子：

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看不懂也没关系，本文也没打算真的解释这个方程的含义，列出这个方程纯粹是为了满足部分读者的好奇心。顺便显摆作者使用搜索引擎的能力。