凝聚态物理学的新篇章——超越朗道范式的拓扑量子物态(12) 在凝聚态物理学发展历程中

我们在获得了波函数模方的张量网络中，先行将物理自由度缩并掉，而留下“纠缠自由度” ，留下的张量网络对应于一个描述局域相互作用的经典统计模型的配分函数[35] 。这种引入辅助自由度解除耦合物理自由度，而后求和掉物理自由度而留下辅助自由度的办法，精神上类似于在路径积分上常用的Hubbard—Stratonovich变换。张量网络态的局域性保证了最终得到的经典模型的局域性。借助Ashkin—Teller模型的严格解析解[36] ，我们可以确定相变点位置以及任意子关联函数的标度行为，从而准确地描述相变与相变机制。用这套办法我们在调节波函数的路径中重现了电荷凝聚与磁荷凝聚的相变。而在电磁对偶的路径上，惊奇地发现Z2拓扑相经历了一个Kosterlitz—Thouless相变进入无能隙的U(1)库仑气体相：电荷质量随着关联长度发散而逐渐消失，电荷与电荷之间产生与距离成对数依赖关系的二维库仑势[35] 。其临界点对应的相变，从库仑势的角度看是配对电荷的安德森—希格斯凝聚相变，本质上即为超导相变。借此我们可以推测，在调节Toric Code模型中外磁场所得到的相图中，沿着电磁对偶路径上的相变类似于禁闭的U(1)规范场到Z2退禁闭规范场的电荷对凝聚相变，相变的普适类与三维的XY模型等价。具体而言，可以用我们严格调节的波函数作为出发点，通过增大张量维数来作为基态拟设，数值求解含有外磁场的Toric Code模型。
此外，非阿贝尔拓扑量子有序态被认为可用于实现拓扑量子计算，而斐波那契拓扑量子态则是实现通用拓扑量子计算最为简单的物理系统，相关拓扑相变研究在2020年也获得新进展[37] 。利用量子对偶性，我们首先构造了一个含两个互为对偶且可调的斐波那契拓扑量子态的多体波函数。该波函数的模方可以被映射到一个经典统计配分函数上，我们发现对应的统计模型为两个二维耦合的

文章图片

文章图片
态Potts模型。这是个全新的统计模型，因为它不仅包含了无理数的局域自由度数目，而且还具有非局域的负玻尔兹曼统计因子。此外，通过发展张量网络的特殊技巧，导出了这个斐波那契拓扑态的张量网络态表示。借助于张量网络态的数值计算方法，我们完整而准确地建立斐波那契拓扑物态及其相变的全景相图，并给出多个拓扑量子相变的临界性质[37] 。
04
结语
值得指出的是，内禀拓扑相的拓扑与此前所介绍的拓扑绝缘体，尽管都统称为“拓扑量子态” ，但是有着非常不一样的内涵。拓扑绝缘体或拓扑超导体的拓扑往往跟布洛赫态在动量空间中的Berry相位相关，体现在动量空间中具有相对直观的拓扑结构，比如涡旋或斯格明子。相较而言，内禀拓扑相的拓扑则表观上体现在演生任意子激发在实空间上相互缠绕的Berry相位因子，其相位因子可以推广到非阿贝尔的矩阵形式，其背后的物理根源在于低能演生出的拓扑规范场。Kitaev对于内禀拓扑序是根据其核心物理效应和物理刻画，演生任意子激发定义的[27] 。而文小刚则倾向于从微观的绝热原理来分类，只要无法绝热演变成平庸直积态的则定义为拓扑相。在他的理论框架里，拓扑绝缘体和拓扑超导体中的大多数被归类为对称保护拓扑相。只要保护对称性失去，则可以与平庸直积态绝热相连。而像量子霍尔态并不需要对称性保护也无法绝热演变成平庸直积态，但是它们可以通过将两个相反手征性的体系耦合起来变成平庸态，所以叫作“可逆”(invertible)拓扑相。从波函数的角度，文小刚认为不需要对称性保护的内禀拓扑相和“可逆”拓扑相的根源都在于长程量子纠缠，数学上由张量范畴理论所描述[6] 。