凝聚态物理学的新篇章——超越朗道范式的拓扑量子物态( 十 ) 在凝聚态物理学发展历程中

此外，弦的量子数只有奇偶守恒，可模2涨落，这其实也是Z2拓扑序内在的Z2对称性的一个体现。事实上，如果将该模型推广到更一般的拓扑流形上面去，比如包含g个亏格的流形，可以形象地理解成具有g个洞的广义面包圈，则按照同样的逻辑可以导致更高的基态简并度4g 。也就是说，基态简并度依赖于其所处在的实空间流形的拓扑，从而有所谓“拓扑序”一词。注意到这里的拓扑是实空间的拓扑，跟前面讨论到的动量空间上的涡旋和斯格明子等拓扑结构有本质不同。考虑到该体系具有有限的能隙，从而任意的局域关联函数都是短程关联，具有有限关联长度，那么如此一个“短视”的体系是如何“感知”到流形整体的拓扑的呢？这背后的根本原因在于长程的量子纠缠。量子纠缠是一种量子性的关联，并不能用普通的局域算符的关联函数度量之。
另外，在一般微扰下， Toric Code模型其实可以对应一个具有电磁对偶的Z2规范理论，即二维空间中一个最简单的离散版本的电磁理论。其中基本激发粒子正是电荷e、量子磁通m ，以及二者复合而成的费米子f 。磁通的量子化不禁让人联想起二维超导态。其实Toric Code模型和Z2规范理论正是描述了二维超导态的低能规范动力学行为。通常的量子电动力学中，电子具有U(1)规范对称性，从而电荷数守恒，而其磁通则可以连续变化。在发生安德森—希格斯超导相变之后， U(1)规范对称性下降为Z2 ，从而电荷数守恒下降为奇偶守恒，相当于把整数的加法运算下降为模2的加法运算。而超导磁通涡旋则被量子化为π通量，库珀对探测到的2π通量相当于单个电子或空穴所探测到的π通量。在常规的s波超导相中，通常考虑的基本低能激发只有马约拉纳费米子。尽管没有外磁场的注入，如果将规范涨落动力学也考虑进来，把系统自身量子涨落产生的超导涡旋看作一种内禀的磁通自由度，则还有马约拉纳费米子与内禀磁通的复合体。可以验证，这正是玻色型的电荷e=mf粒子，见表1 。如此一来， Toric Code模型和Z2规范理论并不是十分抽象神秘的理论，而是一个最简单的对偶的电磁理论，描述着凝聚态中熟知的超导相的低能规范涨落的物理。因此，受此启发， Sondhi等人从规范动力学的角度认为超导有序本质上都是超越朗道对称破缺的拓扑有序态[29] 。
表1 比较Toric Code模型与s波超导相的低能激发

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3.4 拓扑量子相变
Toric Code模型由于其简单性和丰富性在拓扑序的研究中始终处于核心地位，在任何的拓扑物态探索中都充当着试金石的角色。于是，要研究拓扑序的相变，一个很自然的出发点就是研究该Z2内禀拓扑相的相变。一个最简单的考虑就是在Toric Code模型中引入外磁场。事实上，与其等价的规范——希格斯理论，早在1979年已经被Fradkin与Shenker所讨论[30] 。尽管Elitzur定理表明，纯粹的规范场其规范对称性不可自发破缺[31] ，但是在与之强耦合的物质场诱导下规范场可以发生破缺，即安德森—希格斯机制。当自旋z方向的磁场hz>>1时，该模型确实发生了希格斯相变，拓扑电荷发生凝聚，系统进入希格斯相，在自旋模型上看即为自旋极化的直积平庸相。而在自旋x方向的磁场hx>>1时， Z2规范场的电场线需要克服的能量正比于其长度，从而拓扑电荷被禁闭，这在自旋模型上看也是自旋极化的直积平庸相。希格斯相与Z2电荷禁闭相通过电磁对偶相联系，所以该拓扑相变属于三维伊辛相变的普适类。