此外 ， 我们简要介绍下一个d+id拓扑超导 。其超导配对波函数的轨道角动量 l = 2 ， 具有偶宇称 ， 因而出现在自旋单态配对中 。d+id的配对波函数围绕费米面会发生4π的相位环绕 ， 因此得到拓扑陈数C = 2 ， 在边缘上会导致两支手征马约拉纳模式 ， 等价于一支狄拉克费米子模式 。此外 ， 考虑到自旋单态配对不破坏SU(2)对称性 ， 所以Bogoliubov准粒子激发携带自旋简并 ， 从而其边缘模式即为一支携带自旋的狄拉克费米子模式 。因此 ， 尽管d+id超导也具有非平庸的拓扑 ， 但是其边缘乃至涡旋中心都不具备孤立的马约拉纳模式 ， 从而属于阿贝尔统计类型[14] 。有研究者认为在1/4填充附近的石墨烯或者在三角晶格的哈伯德模型中可以实现d+id拓扑超导 。
2.5 相应的拓扑相变
按照绝热原理 ， 有序相的划分依赖于相变 ， 因而有序相与相变犹如一枚硬币的两面不可分割 。在传统的LGW范式中 ， 有序相由序参量来刻画 ， 相变则对应于序参量获得一个非零真空期望值 ， 相变理论基本决定于宏观的序参量和空间维数 。因而物质的有序相及其相变有一一对应关系 ， 知道了两个相 ， 从对称性和空间维度的信息便基本确定了其间的相变临界理论 ， 这就是凝聚态中的普适类的概念 。与传统LGW相变不同 ， 拓扑相变并不涉及对称性破缺 ， 大多由拓扑数来刻画 ， 因而其拓扑陈数的改变则标志着拓扑相变 ， 类比于LGW范式下对称性的改变所描述的相变 。在此类拓扑临界点上 ， 往往具有无质量狄拉克色散的费米子激发 ， 其数目取决于两边拓扑相的拓扑数之差 ， 狄拉克费米子质量出现反号 ， 则对应拓扑相变的相变点 。比如平庸绝缘态到量子自旋霍尔态的相变 ， 在低能下对应于一个二维螺旋狄拉克费米子从正质量变为负质量[11] 。
03
超越朗道范式的内禀拓扑有序物态
诸如量子霍尔态、量子反常霍尔态和拓扑超导态这样的量子多体纠缠态 ， 由于无法绝热地演变成单粒子直积态 ， 它们的拓扑性质体现在边缘上或者缺陷上的无能隙稳健激发模式 ， 而体内并没有任何不同于平庸相的物理效应 。然而 ， 在粒子与粒子的强相互作用下 ， 量子多体系统还可以演生出更加丰富的内禀拓扑有序物态 ， 其拓扑本质则体现在体内可以出现新奇准粒子激发 ， 它们满足的统计性质既非玻色亦非费米统计 。
3.1 任意子统计
通常在三维空间中 ， 点状粒子与粒子之间的任何缠绕轨迹均可以绝热连续收缩回到原点 ， 从而粒子与粒子之间的缠绕必然只能产生0或者2π的统计相位 。由于两次粒子交换操作等价于粒子之间的缠绕 ， 所以粒子之间的交换只可能导致其波函数相位改变0或者π ， 分别对应于玻色子与费米子 。然而在二维空间中 ， 粒子之间的缠绕轨迹无法绝热地收缩回到原点 ， 从而原则上可以获得更为一般的Berry相位(图4) 。在二维空间中 ， 原则上可以出现超越玻色子与费米子的其他分数化统计相位的粒子 ， F. Wilczek最早提出[16] ， 并称之为“任意子”(anyon) 。任意子之中又分为阿贝尔任意子与非阿贝尔任意子 ， 前者的相互缠绕只导致波函数整体相位的改变 ， 而后者对应于矩阵形式的相位因子 ， 所以相互缠绕导致波函数被完全改变 。任意子在2+1维时空中相互缠绕的世界线等价于数学上的辫子群[17] 。

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图4 (a)在三维空间中 ， 点粒子之间的缠绕轨迹可以沿着球面绝热收缩回一个点 ， 因而产生的相位只能为0(玻色)或者π(费米)；(b)二维空间中 ， 点粒子之间的缠绕轨迹由于被禁锢在二维平面内而无法绝热地收缩回一个点 ， 因而原则上可以产生任意的Berry相位 ， 包括非阿贝尔类型

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