凝聚态物理学的新篇章——超越朗道范式的拓扑量子物态( 四 ) 在凝聚态物理学发展历程中

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图2 将包裹着一个狄拉克磁单极子的球面延展到一个平直二维平面，即斯格明子(skyrmion)
由于拓扑量子数具有鲁棒性，只要系统的能隙不被关闭，则不能发生改变。人们将这样得到的量子数称为拓扑陈数(Chern number) ，因为其背后的深刻数学描述是由陈省身先生研究创建的纤维丛理论。由于这样的绝缘体体内具有非零的拓扑陈数，而体外的真空等价于拓扑陈数为零，则其边缘作为两者的过渡区域必然要发生某种特殊的低能物理特征来弥补拓扑数之差，这便是单向传输 (手征性) 的无能隙边缘量子电子态模式。也就是说，边缘模式是由于体内与体外的拓扑差别，因而必然具有鲁棒性，不受边缘形状、杂质散射所影响，而且边缘模式的数目也会由体内的拓扑数完全决定，所以完美解释了实验观测到的量子化横向电导。
【凝聚态物理学的新篇章——超越朗道范式的拓扑量子物态】2.2 量子反常霍尔效应
自整数量子霍尔效应从理论上被解释之后，人们很快设想在电子多体系统中，即使在没有外加磁场的情况下也可以发生量子霍尔效应，因而被称为量子反常霍尔效应。1988年， Haldane最先提出了一个理想模型，可以实现量子反常霍尔效应[9] 。在一个描述石墨烯低能物理的六角晶格无自旋电子紧束缚模型中，电子只能在近邻格点之间跃迁。由于六角晶格的元胞包含两个格点轨道电子，因此可以在布里渊区 (Brillouin zone ， BZ) 中得到两条能带，而两条能带在BZ角点K与-K上发生点接触，形成局部线性色散的狄拉克锥。也就是说，尽管原始构成粒子为非相对论性的紧束缚电子，然而在低能下，该系统中的电子表现为一对具有线性能动量关系的无质量狄拉克费米子 (图3)。

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图3 (a)六角晶格；(b)六角晶格最近邻跃迁模型在动量空间中的能带色散关系及其低能狄拉克锥。黑色六边形标记BZ ，平均每个BZ分得一对狄拉克锥
Haldane在这样的模型中引入一个带相位的次近邻电子跃迁项，使得低能狄拉克费米子获得质量。尤为重要的是，他施加的跃迁相位正好使得两个狄拉克费米子获得相反符号的质量，一正一负。狄拉克费米子获得质量则意味着在能带上打开能隙，可以通过计算拓扑陈数发现，其中一个能带具有+1的陈数而另一个能带的陈数为-1 ，从而完全填充其中一个能带便可实现量子反常霍尔效应。直观上看，一个带质量的狄拉克费米子可以携带±π的Berry相位通量，而两个组合起来则可以为2π或0两种可能。在Haldane模型里，当取相同的质量则得到0通量，而相反质量则得到2π通量。值得注意的是，这样的模型尽管没有外加磁场，但是依然不可避免地破坏了时间反演对称性。事实上，这是因为电子波函数的相位在时间反演下反号，从而拓扑陈数也继承了这样的行为，非零陈数必然意味着时间反演对称性的破坏。
2.3 量子自旋霍尔效应
随后人们发现了一个反例，或者说是对原来的拓扑陈数的推广。2004年， C. Kane与E. Mele在Haldane模型的基础上，进一步考虑到自旋轨道耦合效应提出了一个新的理想模型[10] 。由于存在电子自旋自由度，他们的模型在低能下本质上相当于将两个Haldane模型，分别对应自旋上和自旋下，以相反的方式来破缺时间反演对称性，从而在整体上维护系统时间反演对称性。然而，只要保证两个自旋自由度不发生耦合散射，则其各自的拓扑数仍然可以良好定义并且满足守恒定律，即自旋自由度为好量子数。更一般而言，该体系只需要时间反演对称性保护，狭义的“拓扑绝缘体”指的就是这样的在时间反演对称性保护下具有非平庸Z2拓扑数的绝缘体。拓扑性质导致在体系边缘上，产生分别对应两种自旋自由度而反向运动的无能隙电子流，从而形成拓扑保护的手征自旋流。换个角度看，其边缘上相当于产生了无质量的自旋轨道锁定的螺旋电子运动模式，这样的拓扑相被人们称为量子自旋霍尔态。后来，与之等价的拓扑相也被张守晟等人预言会在HgTe—CdTe量子阱中实现[11] 。自此，拓扑绝缘体受到许多人的关注，并开辟了一个全新的领域。