凝聚态物理学的新篇章——超越朗道范式的拓扑量子物态( 五 ) 在凝聚态物理学发展历程中

不难发现，由于量子多体系统中还有许多其他的自由度，类似于量子自旋霍尔效应的推广还可以有许多，比如量子能谷霍尔态[12] 。除此之外，拓扑绝缘体不限于二维，在三维体系中人们也提出了类似的Z2拓扑数的概念。借助于量子自旋霍尔效应的平台，通过掺入磁性杂质来主动破坏时间反演对称性，薛其坤团队首次观测到了量子反常霍尔效应，从而在实验上首次验证了量子反常霍尔效应[13] 。这一大类的拓扑材料由于具有拓扑保护的边缘传输模式，包括电荷、自旋输运模式，乃至能谷输运模式，因而在低功耗自旋、能谷电子学器件应用上具有广阔前景。
2.4 二维拓扑超导态
最简单的二维拓扑超导是具有轨道角动量 l = ±1 的 p ± ip 无自旋费米子超导，以及 l = ±2 的 d ± id 自旋单态配对的超导。根据泡利不相容原理，无自旋费米子的配对波函数其轨道自由度必然要具有反对称性，在有单轴旋转对称性的前提下意味着奇数的角动量，则最简单的例子便是px+ipy 。在连续极限下，低能有效哈密顿量可以写为

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转换到动量空间中，上式成为

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其中，我们将电子和空穴组成二分量的旋量，而ρ则是作用在该旋量空间中的三个泡利算符矩阵。因此，有效哈密顿量表示为赝磁场与赝自旋的作用，该磁场在动量空间中的分量为

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其形式等价于我们先前所讨论的狄拉克二分量旋量费米子哈密顿量式，这里的拓扑直接体现在背后的赝磁单极子的量子化。只有当化学势 μ = 0 的时候，准粒子激发谱在 k = 0 处关闭能隙，除此之外，系统具有有限大的能隙。因此，μ = 0 是一个临界点，分开了两个有能隙超导相。这两个超导相具有完全一样的对称性，但是它们有着不同的拓扑陈数：C = 1 ， μ > 0 ，而 C = 0 ， μ0时，化学势从能带中切割出费米面，此时的超导具有非平庸的拓扑性质，对应弱配对的巴丁—库珀—施里弗(Bardeen—Cooper—Schrieffer ， BCS)极限；而μ与常规s波配对超导态不同， p波超导的弱配对BCS极限与强配对BEC极限并不绝热相连，其拓扑不等价性导致必然需要经历一个拓扑相变[14] 。考虑 μ > 0 的一个足够大且具有开放边界的系统，由于从系统内部到外面的真空经历了拓扑陈数从 C = 1 到 C = 0 的变化，在系统的边缘上必然要关闭能隙。在开放边界条件下，通过求解Bogoliubov—de Gennes方程得出，在边缘上将出现手征性、单向性准粒子传导，即破坏了时间反演与宇称的马约拉纳(Majorana)费米准粒子模式。
更进一步，我们可以求解出，当超导体块中出现了超导涡旋的时候，将会俘获一个严格零能量的孤立马约拉纳费米子。这可以如下简单理解：将超导涡旋近似处理成超导体上一个挖空的圆对称的区域，则围绕其边缘会出现线性色散的手征马约拉纳费米子模式，而由于磁通涡旋的存在抵消掉了p+ip超导自身携带的2π相位环绕。所以，该手征马约拉纳费米子模式波函数满足周期边界条件，从而其轨道角动量整数量子化，其中角动量为0的模式则为严格零能量的马约拉纳费米子。事实上，其零能量受到拓扑保护，在扰动下该结论不变。磁通涡旋与俘获的孤立零能量马约拉纳费米子的复合体被称为马约拉纳零能模式。与单纯的费米子不同，马约拉纳零能模具有非阿贝尔的统计，即两个马约拉纳零能模相互缠绕一周彼此都会获得π相位。如何在实际物理体系中实现p+ip拓扑超导？2008年，傅亮和C. Kane提出在拓扑绝缘体表面态上耦合常规超导体可以实现p+ip拓扑超导[15] ，该方案吸引了许多实验学者的关注。其方案的核心是，借助三维拓扑绝缘体表面态上的狄拉克螺旋电子态的强自旋轨道耦合，有效地“冻结”电子自旋自由度，从而演生出p+ip的低能有效配对拓扑超导态。