这些超越玻色与费米统计的任意子便演生于强相互作用的内禀拓扑有序态之中 。最为著名的例子便是实验中所观测到的分数量子霍尔态 ， 尽管其微观基本自由度都只是电子 ， 但是其强相互作用的结果导致在低能长波极限下所观测到的准粒子具有分数电荷并满足统计 ， 比如最早观测到的电子比上磁通的填充数 ν = 1/3 的Laughlin霍尔态 ， 其准粒子激发即具有1/3电荷的统计性质 ， 堪称凝聚态中的夸克[18]；而知名的 ν = 5/2 填充的Moore—Read态[19]则具有非阿贝尔的伊辛任意子激发 。由于具有有限能隙 ， 分数量子霍尔效应在低能长波极限下的规范涨落可由Chern—Simons拓扑规范理论所描述[20] ， 所以对应的量子态具有拓扑有序性质 。
此处的拓扑 ， 本质上是因为系统的低能有效作用量不依赖于时空度规 ， 即在时空坐标变换下作用量保持不变 ， 而表征上体现在这些具有非平庸统计相位的任意子类似于拓扑激发 ， 具有强鲁棒性 。同时任意子从产生到湮灭的运动轨迹可以将一个多体基态转变为另一个基态 ， 从而导致依赖于实空间的流形拓扑的基态简并度 。任意子的信息完全蕴含在系统基态空间中 ， 可以通过对实空间流形作模变换而提取出任意子的统计相位 。比如 ， 将实空间上的一个圆环面作90°旋转的变换 ， 在基态空间中的表示矩阵描述了不同任意子之间相互缠绕的统计相位；而将圆环面剪切开 ， 将其中一个开口自转90°再重新接上这样的变换矩阵则携带了同种任意子之间缠绕的统计相位[21] 。有了任意子之间的统计相位信息 ， 便可以通过Verlinde公式计算出任意子的基本融合规则[22] ， 实现拓扑有序态的完整描述 。
3.2 量子自旋液体
另一个能演生任意子的内禀拓扑物态则是量子自旋液体家族 。量子自旋液体的研究可以追溯到阻挫量子磁学以及铜氧化合物高温超导体 。30年前 ， 安德森提出共振价键态 (Resonant Valence Bonds ， RVB) 的拟设 ， 用来作为阻挫量子磁性基态甚至作为高温超导的母体态[23] 。在具有电子半满填充的晶格体系中 ， 由于强库仑相互作用 ， 电子电荷自由度被冻结 ， 只留下自旋自由度 ， 形成强关联莫特绝缘相 。在经典理论中 ， 低温下自旋热运动被冻结 ， 自旋倾向于破缺旋转对称性形成某种量子有序态 ， 比如铁磁态和反铁磁态 ， 或者保留自旋旋转对称性而破缺晶格对称性的价键固态：电子两两配对成为价键单态 。然而 ， 电子磁矩在反铁磁的超交换作用下 ， 强烈的自旋量子涨落会摧毁任何的有序而恢复高对称性 。当存在晶格几何阻挫时 ， 量子涨落的效应尤甚 。由于没有破缺任何的自旋旋转对称性和晶格对称性 ， 人们将其喻为“量子自旋液体” 。量子自旋液体最有代表性的就是由安德森提出的作为许多不同的价键固态的等权量子叠加的RVB液体态 。在该量子态中 ， 电子的自旋和电荷自由度分离而出现分数准粒子激发 ， 演生出的规范场传递粒子间相互作用 。在RVB拟设下 ， 自旋子 (spinon) 已然发生配对 ， 而在进行空穴掺杂时 ， U(1)规范对称性上升为全局对称性 ， 空穴子 (holon) 作为玻色子可以发生玻色凝聚而自发破缺全局的U(1)对称性 ， 这时系统便进入到超导相 ， 这便是高温超导的RVB图像 。

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图5 示意最近邻短程共振价键态(RVB)中的其中一个价键态构型 。蓝色椭球标记一个由两个格点上的自旋所形成的自旋单态 ， 红色标记一个孤立自旋子(spinon)拓扑激发 ， 其满足费米统计但不携带电荷

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